Олимпиадная задача: Арифметическая прогрессия и делимость — теория чисел, 9-10 класс
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {an} из натуральных чисел, что произведение an...an+9 делится на сумму
an +... + an+9 при любом натуральном n?
Показать ответ
Не существует.
Разобрать решение
Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда число An= (2an)...(2an+9) делится на Bn = an+4=an+5 при любом натуральномn. С другой стороны, обозначив черезdразность прогрессии, имеем An= (Bn– 9d)(Bn– 7d)...(Bn – d)(Bn + d)...(Bn+ 7d)(Bn+ 9d). Значит, An = BnCn + D, гдеCn– целое число, D = – d10(1·3·...·7·9)². Из этого равенства ясно, чтоAnне делится наBnприBn > D. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.