Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов: равенство углов в треугольнике

  Пусть NP – диаметр описанной окружности. Тогда  ∠NBP = ∠NAP = 90°,  точка P – середина дуги AC, поэтому  ∠ABP = ∠CBP,  то есть BP – биссектриса угла ABC. Следовательно, I лежит на BP (см. рис.).

  ДиаметрNPявляется серединным перпендикуляром к отрезкуAC, следовательно,NPпроходит черезM. Как известно (см. задачу[153119](https://mirolimp.ru/tasks/153119)), треугольникAPI– равнобедренный  (AP = IP). AM– высота прямоугольного треугольникаNAP, поэтому  IP:MP = AP:MP = NP:AH = NP:IP.  Отсюда следует подобие треугольниковPMIиPIN, значит,  ∠PMI= ∠PIN.   Но  ∠IMA= ∠PMI– 90&deg,  а из прямоугольного треугольникаBNI:  ∠INB= ∠PIN–IBN= ∠PIN– 90°.