Олимпиадная задача Злобина С. А. на рациональные функции и алгебраические неравенства для 8–10 классов

  Так как  xyz = 1,  то неравенства  ¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z  и  (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≤ 0  равносильны. Действительно, из того, что  ¹/_x = yz,  ¹/_y = xz,  ¹/_z = xy  и

xyz = 1  следует, что они оба равносильны неравенству  yz + xz + xy ≥ x + y + z.

  Кроме того, числа  t – 1  и  t^k – 1  имеют при  k > 0  одинаковый знак. Поэтому

¹/_x + ¹/_y + ¹/_z ≥ x + y + z  ⇔  (x – 1)(y – 1)(z – 1) ≤ 0  ⇔ &nbsp(x^k – 1)(y^k – 1)(z^k – 1)  ⇔  x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k.