Олимпиадная задача по планиметрии и последовательностям для 8–9 классов от Губина Я.

Все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (Египетский треугольник). В любом треугольнике2r<h_b a , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. Пусть2r , a , b и c образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью d>0. Ясно, что a=2r+d , b=2r+2d , c=2r+3d и p==3r+3d . Поскольку в любом треугольнике S=pr и S= , то pr= или pr²=(p-a)(p-b)(p-c). Выразив в данном равенстве все величины через r и d получим

(3r+3d)r²=(r+2d)(r+d)r,

откуда3r=r+2d , т.е. r=d , так как r>0, r+d>0. Следовательно, стороны равны3r ,4r ,5r .