Олимпиадная задача о фишке на шестиугольнике: планиметрия и комбинаторная геометрия
В одном из узлов шестиугольника со стороной n , разбитого на правильные
треугольники (см. рис.) , стоит фишка. Двое играющих по очереди
передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел,
в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.
Кто выигрывает при правильной игре?
Показать ответ
Выигрывает второй.
Разобрать решение
Выигрывает второй.
Разобьем все узлы решетки, кроме того, который фишка занимает в начале игры, на пары соседних. Тогда после каждого хода первого игрока второй может передвинуть фишку в узел, находящийся в паре с только что занятым. Рано или поздно первый игрок окажется в ситуации, когда он не сможет сделать ход. Разбиение на пары приведено на рисунке. Сначала мы разбиваем на пары все узлы, находящиеся на границе решетки, за исключением одного, соседнего с исходной позицией фишки. Оставшийся узел соединяем с узлом, лежащим на отрезке между исходной позицией и центром решетки. После этого узлы, не вошедшие в пары, образуют шестиугольную решетку с выброшенным угловым узлом и стороной, на единицу меньше, чем исходная решетка, и мы повторяем ту же операцию.
Решетка со стороной 1 разбивается на 3 пары (см. рис.) .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.