Олимпиадная задача по тригонометрии и геометрии 10–11 класс Галочкин А. И.
Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 
2.
Докажите, что cosα + cosβ + cosγ 
.
Разобрать решение
Предположим противное: cosα + cosβ + cosγ > . Тогда для векторов 
=( sinα , cosα ), 
=( sinβ , cosβ )и 
=( sinγ , cosγ )имеем:3<
=
|++|||+||+||=3. Получили противоречие.
Сумму
A=( sinα + sinβ + sinγ )2+( cosα + cosβ + cosγ)2
легко оценить сверху:
A=( sin2α + cos2α )+( sin2β + cos2β )
+( sin2γ + cos2γ )+
+
2( sinα sinβ + cosα cosβ)
+2( sinα sinγ + cosα cosγ )+
+
2( sinβ sinγ + cosβ cosγ )3+3· 2=9.
Отсюда
( cosα + cosβ + cosγ)2
=A-( sinα + sinβ + sinγ)29-4=5.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.