Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии: трёхцветные целочисленные точки и прямоугольные треугольники

Назовем целочисленную точкуузлом. Если на каждой вертикальной прямой все узлы одного цвета, то выберем любой узел (пусть он цвета 1). Проведем через него две перпендикулярные прямые, идущие под углом45^o к вертикали и выберем на этих прямых точки цветов 2 и 3 (это возможно, поскольку существуют вертикали этих цветов). Полученный треугольник будет искомым. Аналогично, если все горизонтали одного цвета.

Пусть есть вертикаль v , на которой присутствуют ровно два цвета (скажем, 1 и 2). Тогда выберем любой узел C цвета 3, узел A на v , находящийся с C на одной горизонтали (пусть узел A цвета 1) и узел B цвета 2 на v.

Если же есть вертикаль v , на которой встречаются все три цвета, то выберем горизонталь h , на которой не все точки одного цвета. Пусть точка A их пересечения имеет цвет 1, тогда выберем на h точку B цвета, отличного от 1 (скажем, цвета 2), а на v точку C третьего цвета.