Олимпиадная задача Протопопова: последовательности и делимость, 9–11 классы
Последовательность неотрицательных рациональных чисел a1, a2, a3, ... удовлетворяет соотношению am + an = amn при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.
Разобрать решение
Предположим противное. Полагая m = n = 1, получаем a1 + a1 = a1, то есть a1 = 0. Поэтому все остальные члены ненулевые. Пусть a2 = p/q, a3 = r/s. Из условия следует, что 
поэтому 
но 2qr ≠ 3ps. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.