Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8–10 классов: треугольник на 2000-угольнике
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Разобрать решение
Уберем вершину A2000данного многоугольника A1A2.. A2000. Назовем средними диагоналями многоугольника A1A2.. A1999отрезки, соединяющие вершины, номера которых отличаются на 999 или 1000. Рассмотрим все средние диагонали, их ровно 1999 штук. Заметим, что любые две из них пересекаются, из каждой вершины выходит ровно две средние диагонали. Поскольку1999 > 2 · 999, то найдутся три одноцветные средние диагонали, они попарно пересекаются в трех разных точках. Эти точки пересечения и являются вершинами искомого треугольника.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.