Олимпиадная задача по тригонометрии и биному Ньютона для 10-11 класса от Храброва А.

Левую часть можно записать в виде  sin²ⁿx + (2ⁿ – 2) sinⁿx cosⁿx + cos²ⁿx.   Но

  1 = (sin²x + cos²x)ⁿ = sin²ⁿx + cos²ⁿx + n(sin²x cos^2n–2x + cos²x sin^2n–2x) + (sin⁴x cos^2n–4x + cos⁴x sin^2n–4x) + ... ≥ sin²ⁿx + cos²ⁿx + (2ⁿ – 2) sinⁿx cosⁿx,

поскольку каждая скобка не меньше чем  2 sinⁿx cosⁿx,  а сумма коэффициентов равна  ½ (2ⁿ – 2).