Олимпиадная задача по теории чисел: разбиение натуральных чисел на 100 подмножеств

Выделим в i-е множество  (1 ≤ i ≤ 99)  все чётные числа, дающие при делении на 99 остаток  i – 1,  а в сотое множество – все нечётные числа. Очевидно, что среди любых чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению  a + 99b = c,  чётное количество нечётных. Если среди них два нечётных, то они из сотого множества, иначе a и c из одного множества, так как они чётные и дают одинаковые остатки от деления на 99.