Олимпиадная задача по стереометрии: тетраэдр, касательная плоскость и углы

  Проведём плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра AB, AC и AD в точках B₁, C₁ и D₁ соответственно. В плоскости ABC получим конфигурацию, изображенную на рисунке.

  Заметим, что  ∠ABC= ∠CAM  (по теореме об угле между касательной и хордой), а  ∠CAM= ∠AC₁B₁  (как накрест лежащие при параллельных и секущей), то есть  ∠ABC= ∠AC₁B₁.  Следовательно, треугольникиAB₁C₁иACBподобны, откуда  B₁C₁:BC = AB₁:AC = AC₁:AB.   Аналогично  C₁D₁:CD = AC₁:AD = AD₁:AC  и  B₁D₁:BD=AD₁:AB=AB₁:AD.   Из этих равенств вытекает, что     Значит, треугольникA₁B₁C₁– равносторонний тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.  Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольникаB₁C₁D₁.