Задача № 2096328, 9 классы2 / 5

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса — сумма длин красных и синих сторон

Центры O₁ , O₂ и O₃ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O₁ , O₂ и O₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Разобрать решение

Рис. 1

Введем обозначения так, как показано на рис. 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то X₁O₂=O₁Y₂ , Y₁O₃=O₂Z₂ , Z₁O₁=O₃X₂, или X₁A+AB+BO₂=O₁B+BC+CY₂ , Y₁C+CD+DO₃=O₂D+DE+EZ₂, Z₁E+EF+FO₁=O₃F+FA+AX₂. Сложив полученные равенства и заметив, что

X₁A=AX₂, Y₁C=CY₂, Z₁E=EZ₂

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

BO₂=O₁B, DO₃=O₂D, FO₁=O₃F

(так как радиусы данных окружностей равны), получим: AB+CD+EF=BC+DE+FA , что и требовалось доказать.

Рис. 2 Рис. 3 Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо и для невыпуклого шестиугольника в случае, изображенном на рис. 2. Замечание 2. В обозначениях рис. 1 и рис. 2 справедливо равенство AB· CD· EF=BC· DE· FA , равносильное тому, что прямые AD , BE и CF пересекаются в одной точке. Замечание 3. Предыдущее утверждение остается справедливым, даже если отказаться от равенства данных окружностей (см. рис. 3).