Олимпиадная задача про карусель с n сиденьями и уникальные переходы — Теория чисел, 8–11 класс
На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1 переходов различны и меньше n?
Показать ответ
При чётных n.
Разобрать решение
Пусть n нечётно. Тогда сумма длин всех n – 1 переходов равна 1 + 2 + ... + (n – 1) = ½ n(n – 1), то есть делится на n. Это означает, что после n – 1 переходов мальчик оказался на том же месте, с которого он начал кататься, и, значит, на каком-то из сидений он не побывал.
Пусть n чётно. Мальчик мог побывать на каждом сиденье при следующих длинах переходов: 1, n – 2, 3, n – 4, n – 5, 4, n –3, 2, n – 1 (то есть мальчик побывал последовательно на сиденьях с номерами 1, 2, n, 3, n – 1, n/2 – 1, n/2 + 3, n/2, n/2 + 2, n/2 + 1).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.