Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 классов: доказательство перпендикулярности для правильной треугольной пирамиды SABC
На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A1 , B1 и C1 так, что плоскости A1B1C1 и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C1 . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A1B1C .
Разобрать решение
Спроектируем точку O на плоскость SBC . Полученная точка O1 – центр окружности, описанной около треугольника SBC1 . Пусть SS1 – ее диаметр. Докажем, что прямые SO1 и B1C перпендикулярны.
Действительно (рис),
SB1C+ B1SS1= SC1B+ BSS1=
SB+BS1=
· 180o=90o.
Аналогично, прямая A1C перпендикулярна проекции прямой SO на плоскость SAC 1172.
По теореме о трех перпендикулярах SO
A1C и SO B1C ,
следовательно, SO A1B1C , что и требовалось доказать.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.