Олимпиадная задача по планиметрии: выбор точек в выпуклом стоугольнике, 9–11 класс

Будем называть выпуклой оболочкой конечного множества точек наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все эти точки. Можно доказать, что у любого конечного множества точек существует единственная выпуклая оболочка.

Пусть M=A₁A₂.. A_n – выпуклая оболочка выбранных k точек ( n k ), и точка O M отлична от A₁ , A₂ , A_n .

Рассмотрим отрезки OA_i и продолжим каждый из них за точку A_i до пересечения с границей стоугольника в точке B_i . Докажем, что M находится внутри выпуклой оболочки M' точек B₁ , B₂ , B_n .

Разрежем многоугольник A₁A₂.. A_n на треугольники. Тогда, как легко видеть, если O A_iA_jA_k , то O B_iB_jB_k , а, следовательно, O лежит также и в выпуклой оболочке точек B₁ , B_n .

Поскольку A_i лежит внутри отрезка OB_i , то A_i M' , и M лежит внутри M' .

Выберем для каждой точки B_i сторону многоугольника, ее содержащую. Рассмотрим множество концов этих сторон. В нем m2n2k точек. Добавим к ним произвольным образом2k-m вершин стоугольника и рассмотрим2k -угольник с вершинами в полученных точках. Он выпуклый, его граница содержит точки B₁ , B₂ , B_n и, следовательно, он содержит M' и M .