Олимпиадная задача по математике о числе 5ⁿ и сумме его цифр для 9-11 классов

  Проверка показывает, что из чисел  n = 1, 2, 3, 4, 5  подходит только  n = 3.

  Докажем, что при  n ≥ 6  сумма цифр числа 5ⁿ меньше чем 2ⁿ. Действительно, число 5ⁿ не более чем n-значно, поэтому сумма его цифр не превосходит 9n. С другой стороны,  2ⁿ ≥ 9n.   В самом деле, при  n = 6  оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая – не менее чем на 64.