Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: треугольники и периметры в квадрате

Решение 1:Пусть катеты первого треугольника равны a и b, а гипотенуза – c. Из рисунка видно, что удвоенная плошадь треугольника, отсекаемого отрезком MN, равна половине площади квадрата.

Решение 2:Пусть точки K, L, M, N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Диаметр вневписанной окружности прямоугольного треугольника BKL, касающейся гипотенузы KL, равен его периметру (см. задачу 152553), поэтому эта окружность одновременно вписана в квадрат и её центр O – центр квадрата. Следовательно, высота треугольника OKL, опущенная на сторону KL, равна ½, а  S_OKL = ^c/₂.  Пусть P, Q, R, S – середины отрезков AB, BC, KM, LN, а T – точка пересечения отрезков KM и LN. Нам достаточно доказать, что  S_ABCMTN = ½,  т.е. что  S_BQRTSP = ^c/₂  (поскольку  S_APSN = ^a/₂,  S_CQRM = ^b/₂).  Но это так и есть:

S_BQRTSP = 2S_KLT + 2S_KTP + 2S_LTQ = 2(S_KLT + S_KTO + S_LTO) = 2S_KLO = ½.