Олимпиадная задача Бегунца: произведение простых чисел и делимость для 8-11 классов

  Пусть  N = p₁p₂... p_k  (k ≥ 2) – произведение нескольких различных простых чисел  p₁ < p₂ < ... < p_k,  удовлетворяющее условию задачи. Поскольку по условию N кратно чётному числу  p₂ – 1,  оно само чётно и  p₁ = 2.  Число  N = p₁p₂...p_k  имеет единственный делитель p₁ из интервала  (1, p₂),  но  p₂ – 1  также принадлежит этому интервалу, значит,  p₂ – 1 = p₁ = 2.  Таким образом,  p₂ = 3,  а N может принимать значение  2·3 = 6.

  Если  k ≥ 3,  то по условию число  p₃ – 1,  принадлежащее интервалу  (p₂, p₃),  является делителем числа N. Этому интервалу может принадлежать единственный делитель N – число  p₁p₂ = 6.  Следовательно,  p₃ = p₁p₂ + 1 = 7.  Число  2·3·7 = 42  удовлетворяет условию задачи.

  Если  k ≥ 4,  то по условию чётное число  p₄ – 1,  принадлежащее интервалу  (p₃, p₄),  также является делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа  p₁p₃ = 14  и  p₁p₂p₃ = 42. Число  15 = p₁p₃ + 1  является составным, значит,  p₄ = p₁p₂ p₃ + 1 = 43.  Число  2·3·7·43 = 1806  удовлетворяет условию задачи.

  Если  k ≥ 5,  то по условию чётное число  p₅ – 1,  принадлежащее интервалу  (p₄, p₅),  также должно являться делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа  p₁p₄ = 86,  p₁p₂p₄ = 258,  p₁p₃p₄ = 602  и  p₁p₃p₃p₄ = 1806.  Каждое из чисел 87, 259, 603, 1807 является составным. Значит, у числа N не может быть более четырёх различных простых делителей.