Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство высот в треугольнике ABC
На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что лучи A1A, B1B и С1C являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1. Докажите, что AA1, BB1 и СС1 – высоты треугольника ABC.
Разобрать решение
Проведём биссектрисы внешних углов треугольника A1B1C1. Пусть биссектрисы внешних углов B1 и C1 пересекаются в точке A2, и т.д. Через точку A2 проходит также биссектриса угла A1 (поскольку точка A2 равноудалена от прямых A1B1, B1C1 и A1C1) – прямая A1A. Значит, в треугольнике A2B2C2 прямые AA1, BB1 и СС1 являются высотами. Докажем, что треугольники A2B2C2 и ABC совпадают.
Пусть это не так, например, точка A2 находится вне треугольника ABC. Тогда луч A2B2 пересекает сторону AB треугольника ABB1 (в точке C1) и не пересекает сторону AB1 (их разделяет прямая A2A1). Следовательно, он пересекает сторону BB1, то есть точка B2 находится внутри отрезка BB1, а значит, внутри треугольника ABC. Аналогично C2 находится внутри треугольника ABC. Но отрезок B2C2 пересекает сторону BC в точке A1. Противоречие.
Аналогично к противоречию ведёт предположение о том, что A2 находится внутри треугольника ABC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.