Олимпиадная задача по теории чисел и дробям для 8-9 класса от Маркелова и Трепалина

Решение 1:   Пусть  n = p(p – 1),  где p – нечётное простое число.

  Заметим, что b_n+1 не делится на p. Действительно, в соответствующей сумме только знаменатели дробей     делятся на p, но их можно сгруппировать попарно так, чтобы знаменатель суммы на p не делился:  

&nbsp В то же время  

  Пусть числитель и знаменатель последней дроби удалось сократить на d:  a_n+1(p – 1)p ≡ b_n+1 (mod d),  b_n+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d).

  Тогда  a_n+1(p – 1)²p² ≡ b_n+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d).  Числа d и p взаимно просты (иначе b_n+1 кратно p). Числа d и a_n+1 тоже взаимно просты (иначе b_n+1 делится на их общий делитель, то есть a_n+1 и b_n+1 не взаимно просты). Поэтому  (p – 1)²  делится на d. Следовательно,  d ≤ (p – 1)².

&nbsp Значит,  

Решение 2:

Автор: Трепалин А.   Возьмём   n = 2·3^k – 1.

    (p и q взаимно просты друг с другом и с числом 3;  m < k).   В то же время     то есть  b_n+1 ≤ 2q·3^k–1 < b_n.