Олимпиадная задача по планиметрии и принципу крайнего для классов 8–11: Доказательство расположения точек на одной прямой

Предположим противное: не все k отмеченных точек лежат на одной прямой. Рассмотрим множество всех прямых, проходящих через как минимум 2 отмеченные точки. Рассмотрим все возможные расстояния от наших точек до этих прямых. По предположению, не все они равны нулю. Среди положительных расстояний выберем наименьшее. Пусть это расстояние будет между точкой D и прямой l , содержащей точки A,B и C (рис.). В полученном треугольнике ADC опустим высоту DH на прямую l . По одну сторону от H на прямой должно находиться как минимум две отмеченные точки (будем считать, что сама H расположена сразу с обеих сторон). Без ограничения общности положим, что это точки A и B (как на рисунке).

Покажем, что расстояние от B до прямой AD будет строго меньше, чем DH . Действительно, расстояние от H до прямой AD строго меньше DH , поскольку высота всегда меньше двух прилегающих к ней сторон. А расстояние от B до AD , очевидно, не больше расстояния от H до AD . Тем самым мы показали, что выбранное нами расстояние вовсе не минимально. Получили противоречие. Следовательно, все отмеченные точки лежат на одной прямой.