Олимпиадная задача по планиметрии о точках D, E, C и F в треугольнике ABC для 8-9 класса

Обозначим BAC = α , ABC = β . Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Пусть прямая EF пересекает сторону BC в точке K , O – центр описанной окружности треугольника ABC , M – середина стороны BC .

Поскольку CF=BF , точки O , F и M лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC , а т.к. EK || AB , то

EKC = ABC = β.

Тогда

OFE = KFM = 90^o-β.

С другой стороны, центральный угол AOC вдвое больше вписанного угла ABC , поэтому

OCE = OCA = (180^o - AOC)= (180^o - 2β) = 90^o-β = OFE.

Таким образом, из точек F и C , лежащих по одну сторону от прямой OE , отрезок OE виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки E , O , F и C лежат на одной окружности. Обозначим её S1.

Пусть CED = ϕ . Поскольку CED – внешний угол равнобедренного треугольника AED , CAD = . Тогда центральный угол COD вдвое больше вписанного угла CAD , т.е.

COD = 2 CAD = ϕ.

Таким образом, из точек E и O , лежащих по одну сторону от прямой CD , отрезок CD виден под одним и тем же углом. Значит, точки C , D , E и O лежат на одной окружности. Обозначим её S2.

Осталось заметить, что окружности S1и S2совпадают, т.к. каждая из них проходит через три точки E , O и C , не лежащие на одной прямой.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.