Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике с медианами, 8–9 класс

Пусть прямая AB пересекается с прямой, проходящей через точку K перпендикулярно медиане AK , в точке P . На продолжении отрезка PK за точку K отложим отрезок KQ = PK . Из прямоугольного треугольника APK находим, что APK = 60^o . В треугольнике APQ высота AK является медианой, значит, этот треугольник – равнобедренный, а т.к. один из его углов равен60^o , то треугольник APQ – равносторонний.

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда = . Таким образом, точка M , лежащая на медиане треугольника APQ , делит её в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, M – точка пересечения медиан треугольника APQ , т.е.центр этого правильного треугольника.

Тогда KPM = 30^o = KBM , поэтому точки M , K , P и B лежат на одной окружности, причём PM – диаметр этой окружности, т.к. PKM = 90^o . Но тогда и PBM = 90^o . Следовательно,

ABC = ABM + MBK = 90^o+30^o = 120^o.

Кроме того, т.к. B и K – середины отрезков AP и BC , то треугольник BPK – также равносторонний.

Пусть сторона треугольника APQ равна2a . Тогда

AB = AP = a, BK= a, BC = 2BK = 2a.

По теореме косинусов находим, что

AC = = = a.

Следовательно,

cos ACB = = ,

cos CAB = = .