Олимпиадная задача по планиметрии: середины сторон невыпуклого четырехугольника

  Пусть A, B и C – последовательные вершины четырёхугольника ABCD, внутренние углы при которых равны 45°. Докажем, что отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.   Первый способ. Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC. Треугольник ABP – прямоугольный и равнобедренный, так как его углы при вершинах A и B равны по 45°. Треугольник DPC – также равнобедренный и прямоугольный. Значит, прямоугольные треугольники APC и BPD равны по двум катетам. Один из них получается из другого поворотом на угол 90° относительно точки P. Следовательно, отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.   Второй способ. AD и СD – высоты треугольника ABC, значит, и BD – высота, то есть  BD ⊥ AC.

  D – ортоцентр треугольника ABC, поэтому описанные окружности треугольников ABC и ABD равны (см. задачу 155597). Следовательно, равны и их хорды BD и AC, стягивающие дуги в 90°.   Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам. Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон – квадрат.