Олимпиадная задача по планиметрии: окружности и точки пересечения в треугольнике ABC
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.
Разобрать решение
Пусть L и M – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AB и BC соответственно. Тогда AK = AL, BL = BM, CM = CK.
Из равенства прямоугольных треугольников OKB1, OKB2, OLE и OMF по катету и гипотенузе следует, что B1K = B2K = EL = FM. Поэтому BE = BF,
AE = AB2, CF = CB1.
Пусть отрезки B1F и B2E пересекают BK в точках P1 и P2 соответственно. Достаточно доказать, что точки P1 и P2 совпадают.
Рассмотрим треугольникABKи прямуюB2E. Потеореме Менелая 
Аналогично 
Следовательно, 
то есть точки P1 и P2 совпадают.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.