Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: доказательство с точками P и Q в треугольнике ABC
В треугольнике ABC (AB > BC) K и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM || BO. Докажите, что QO ⊥ AC.
Разобрать решение
Пусть углы треугольника ABC равны 2α, 2β и 2γ соответственно. Опустим перпендикуляр OR на прямую AC. Пусть перпендикуляр к прямой KM, восставленный из точки P, пересекает прямую OR в точке Q'. Достаточно доказать, что MQ' || BO, так как это будет означать, что точки Q' и Q совпадают.
Так как KM || BC, то ∠MPC= ∠BCP= ∠PCM= γ. Значит, треугольникMPC– равнобедренный: PM = MC = MA. Следовательно, треугольник APC – прямоугольный. ТочкиPиRлежат на окружности с диаметромAO, поэтому ∠OPR= ∠OAR= α. ТочкиPиRлежат на окружности с диаметромMQ', поэтому ∠Q'MR= ∠Q'PR= ∠Q'PO+ ∠OPR= (90° – ∠OPM) + ∠OPR= 90° – γ + α. Пусть прямаяBOпересекает сторонуACв точкеD. Тогда ∠BDC= 180° – β – 2γ = α + 90° – γ = ∠Q'MR. Следовательно, BD || Q'M.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.