Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса — доказательство касательности
Окружность, вписанная в угол с вершиной O касается его сторон в точках A и B , K – произвольная точка на меньшей из двух дуг AB этой окружности. На прямой OB взята точка L такая, что прямые OA и KL параллельны. Пусть M – точка пересечения окружности, описанной около треугольника KLB , с прямой AK , отличная от K . Докажите, что прямая OM касается окружности.
Разобрать решение
Обозначим
OAK = α . Поскольку OA || KL ,
то
LKM = OAK = α.
По теореме об угле между касательной и хордой
ABK = OAK = α.
Вписанные в окружностьуглы LKM и LBM опираются на одну и ту же дугу, поэтому
LBM = LKM = α.
Тогда из точек A и B , лежащих по одну сторону от прямой OM , отрезок OM виден под одним и тем же углом α . Значит, точки A , B , O и M лежат на одной окружности. Поэтому
OMK = OMA = OBA = OBK + ABK =
= OBK + α = OBK + OBM= KBM = LBM.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, OM – касательная к окружности.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.