Олимпиадная задача по планиметрии для 7–9 классов от Лифшица Ю.: доказательство о треугольниках

  Предположим, что треугольник A₁B₁C₁ – правильный.

  Если точка A лежит на отрезке B₁C₁, то из равенства  ∠C₁B₁A₁ = ∠AB₁C = 60°  следует, что C лежит на B₁A₁. При этом

∠BAC = 180° – ∠BAC₁ – ∠CAB₁ = 60°.  Аналогично,  ∠ACB = 60°.  Следовательно, треугольник ABC – правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит на B₁C₁.

  Рассмотрим треугольники A₁BC₁, B₁CA₁ и C₁AB₁. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A₁BC₁ и C₁AB₁, а на правом – треугольник A₁BC₁); иначе назовём его внутренним.

  Тогда к одной из вершин A₁, B₁, C₁ прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A₁B₁C₁ больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.