Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 класса Терешина Д. А.: медианы и диаметр описанной окружности

Пусть AB=c , AC=b , BC=a . Продолжим медианы AA1=m_a , BB1=m_b и CC1=m_c треугольника ABC до пересечения с описанной окружностью треугольника в точках A2, B2и C2соответственно. Тогда

AA2 D, BB2 D, CC2 D,

т.е.

m_a+A1A2 D, m_b+B1B2 D, m_c+C1C2 D.

По теореме о произведениях пересекающихся хорд окружности

A1A2· AA1 = BA1· A1C A1A2 = = = .

Аналогично,

B1B2 =, C1C2 =.

Подставим эти выражения в полученные ранее неравенства и сложим их почленно:

(m_a+A1A2) + (m_b+B1B2) + (m_c+C1C2) =

=(m_a+)+ (m_b+)+ (m_c+) =

= + + 3D,

а т.к. по формуле для медианы треугольника

4m_a2+a2 = 2b2+2c2, 4m_b2+b2 = 2a2+2c2, 4m_c2+c2 = 2a2+2b2,

то

+ + 3D.

Следовательно,

+ + 6D.