Олимпиадная задача по планиметрии о сумме углов треугольника, Терешин Д. А.

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , M – середина стороны AB . Поскольку MB2и MA2– средние линии прямоугольных треугольников AB1B и AA1B , то

MB2H = AB1B= 90^o, MA2H = BA1A= 90^o,

поэтому из точек B2, A2и C1отрезок MH виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MH . Черырёхугольник A2C1B2H – вписанный, поэтому

A2C1B2 = 180^o- A2HB2 = 180^o- A1HB1 = ACB.

Аналогично докажем, что

B2A1C2 = BAC, C2B1A2 = ABC.

Следовательно,

A2C1B2+ B2A1C2+ C2B1A2= ACB + BAC + ABC = 180^o.