Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: центр вписанной и описанной окружностей в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.
Разобрать решение
Если данный треугольник равносторонний (точки O и I совпадают), то утверждение очевидно.
Проведём высоту CE. Пусть точка O лежит между точками I и C (∠B > 60°), а прямые OD и BI пересекаются в точке K. Положим ∠B = ∠A = 2α. Тогда ∠EBI = ∠DBI = α, BIE = 90° – α = ∠BDK, ∠BIO = 180° – ∠BIE = 90° + α.
Сумма противоположных угловBIOиBDOчетырёхугольникаKDBOравна 180°, то есть он – вписанный. Вписанные углыBDIиBOIего описанной окружности равны. Кроме того,BOI– внешний угол равнобедренного треугольникаBOC. Значит, ∠BDI= ∠BOI= 2∠BCE= 180° – 4α = ∠DCA. Следовательно,DI || AC . Случай, когда точкаIлежит между точкамиOиC (∠B< 60°) разбирается аналогично.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.