Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение прямых в треугольнике (Сонкин М.)

Пусть для определённости  AB ≥ AC.  На продолжении стороны AB за точку A отложим отрезок AC' равный AB. Тогда треугольник CAC' – равнобедренный и  ∠AC'C = ½ ∠BAC.  Значит, прямая CC' параллельна биссектрисе AA₂ треугольника ABC. Поскольку прямая l_A проходит через середину A₁ стороны BC' треугольника BCC' и параллельна CC', то она проходит через середину A₃ стороны BC. Аналогично прямые l_B и l_C проходят через середины B₃ и C₃ сторон AC и AB. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом –½ треугольник ABC переходит в треугольник A₃B₃C₃, а прямые, содержащие биссектрисы углов A, B и C, – в прямые l_A, l_B и l_C соответственно. Следовательно, прямые l_A, l_B и l_C пересекаются в одной точке.