Олимпиадная задача по планиметрии: касания окружности и средняя линия в треугольнике ABC
Окружность, вписанная в треугольник ABC касается его сторон AB , BC и CA в точках M , N и K соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная NK , пересекает прямую MN в точке D . Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN , пересекает прямую NK в точке E . Докажите, что прямая DE содержит среднюю линию треугольника ABC .
Разобрать решение
Пусть прямые AD и AE пересекают прямую BC в точках F и H соответственно. Рассмотрим треугольник ABH . В нём MN || AH , а т.к. BM=BN (отрезки касательных проведённых к окружности из одной точки), то AB=BH и AM=NH . Следовательно, NH=AM=AK . Аналогично докажем, что NF=AK , значит, NF=NH , т.е. N – середина стороны FH треугольника AFH .
По условию задачи ND || AH , поэтому D – середина
стороны AF . Аналогично, E – середина AH . Значит, DE –
средняя линия треугольника AFH . Таким образом, прямая DE проходит через середину отрезка AF параллельно прямой BC ,
а т.к. точка F лежит на прямой BC , то прямая DE проходит
через середины сторон AB и AC треугольника ABC . Что и
требовалось доказать.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.