Олимпиадная задача по планиметрии: равноудалённость точки на стороне параллелограмма для 8-9 классов

  Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD. Тогда  PQ || AD,  а O – середина PQ. Предположим, что точка M не лежит на отрезке AP. Тогда  ∠MPO = ∠MAD = ∠AMO.  Поэтому треугольник  MO = PO,  то есть в треугольнике PMQ медиана MO равна половине стороны PQ. Значит,

MQ ⊥ MP || CD,  то есть MQ – серединный перпендикуляр к отрезку CD. Следовательно, точка M равноудалена от точек C и D.

  Аналогично разбирается случай, когда точка M лежит на отрезке AP.