Олимпиадная задача по планиметрии: окружности и касательные параллелограмма
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC.
Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.
Разобрать решение
Решение 1:Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что ∠CBO= ∠BAO= ∠BAC= ∠ACD= ∠OCD.
По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой,CD– касательная к окружности, проходящей через точкиB, O, C.
Решение 2:По теореме о секущей и касательной CB² = CA·CO = ½ CA². Из того, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, отсюда легко выводится равенство DC² = ½ DB² = DB·DO. Таким образом, произведение секущей DB на ее внешнюю часть DO равно квадрату отрезка DC. По той же теореме этот отрезок является касательной.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.