Олимпиадная задача по планиметрии: параллелограмм BPB₁Q, 9–11 класс, Емельянов Л. А.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1. Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.
Разобрать решение
Пусть точки Q и B1лежат по разные стороны от прямой BK ,
а точки P и B1– по разные стороны от прямой BM (остальные
случаи рассматриваются аналогично).
Поскольку при гомотетии с центром в точке N , переводящей внутреннюю
окружность во внешнюю, касательная BC к внутренней окружности переходит
в параллельную BC касательную B'C' к внешней окружности, то точка
касания B'C' с внешней окружностью есть середина дуги BC внешней
окружности, не содержащей точку N , т.е. точка P . Значит, точки N , M и P лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что
точки N , K и Q также лежат на одной прямой.
Четырёхугольники BPNQ , BQKB1и BPMB1– вписанные, поэтому
BQN + BPN = 180o, BQK + BB1K = 180o,
BPM + BB1M = 180o.
Тогда
BB1K+ BB1M = (180o- BQK) +(180o- BPM)=
=360o - ( BQK+ BPM) =360o - ( BQN+ BPN)=
360o-180o=180o,
т.е. точка B1лежит на отрезке KM .
Поскольку BK и BM – касательные, проведённые из точки B к внутренней
окружности, то треугольник BKM – равнобедренный, поэтому BKM= BMK .
Тогда из теоремы о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, и из теоремы
об угле между касательной и хордой следует, что
BQB1 = BKB1= KNM = BMK =
BMB1= BPB1,
PB1Q = PB1B+ QB1B =
PMB + QKB = CMN + AKN =
= MKN + KMN = 180o- MNK =
180o- PNQ = PBQ.
Значит, противоположные углы четырёхугольника BPB1Q попарно равны. Следовательно, BPB1Q – параллелограмм.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.