Олимпиадная задача по планиметрии: касающиеся окружности и медиана (8–9 класс, Сонкин М.)
На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S1 и S2.
Разобрать решение
Пусть окружность S1 вторично пересекает CD в точке F. Будем считать для определённости, что точка E лежит между D и F (возможно, точки E и F совпадают). По теореме о касательной и секущей DF·DE = AD2 = BD2, поэтому и окружность S2 проходит через точку F. Поскольку
CM·CA = CF·CE = CN·CB, то CM : CN = CB : CA, значит треугольники CMN и CBA подобны. Следовательно, ∠CMN = ∠CBA, ∠CNM = ∠CAB.
Через точкуMпроведём касательную к окружностиS1. ПустьP– точка пересечения этой касательной с прямойAB, аQ– точка на продолжении отрезкаPMза точкуM. Поскольку PM = PA (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то ∠QMC= ∠PMA= ∠MAP= ∠A= ∠CNM. Значит, угол между лучомMQи хордойCMописанной окружностиSтреугольникаCMNравен вписанному в эту окружность углуCNM. Поэтому прямаяPQ– касательная к окружностиS, то есть общая касательная окружностейS1иS, проведённая в их общей точкеM. Следовательно, окружностиS1иSкасаются. Аналогично касаются окружностиS2иS.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.