Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса от Сонкина М.: Симметрия на окружностях
Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω1 с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что BL ⊥ AC.
Разобрать решение
Пусть ∠A = α, ∠B = β. Поскольку AOC – центральный угол окружности ω, а угол ABC – вписанный, то ∠AOC = 2β.
Вписанные в окружность ω1 углы AMC и AOC равны.
Поскольку AMC – внешний угол треугольника BMC, то BCM = ∠AMC – ∠MBC = 2β – β = β, а так как MKN – центральный угол окружности ω1, то
∠MKN = 2∠MCN = 2∠MCB = 2β.
ЧетырёхугольникAMNCвписан в окружность ω1, поэтому ∠BNM= α. Поскольку точкаLсимметрична точкеKотносительно прямойMN, то ∠MLN= ∠MKN= 2β, а так как LM = MK = KN = LN и ∠MBN= ½ ∠MLN, тоL– центр описанной окружности треугольникаMBN. Центральный уголBLMэтой окружности вдвое больше вписанного углаBNM, то есть равен 2α. Из равнобедренного треугольникаBLMнаходим, что ∠MBL= 90° – α. Пусть прямыеBLиACпересекаются в точкеP. Тогда ∠APB= 180° – ∠ABP– ∠BAP= 180° – (90° – α) – α = 90°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.