Олимпиадная задача по планиметрии: радиус описанной окружности треугольника BMK
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.
Разобрать решение
Обозначим внешнюю окружность через, внутреннюю,
описанную окружность треугольника BKM –1, их
радиусы – R , r и r1соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружностьв точке P .
При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом 
окружностьпереходит в окружность. Точка P при этом переходит в
точку B , а касательная AB к окружности, проведённая в точке K , –
в касательную l к окружности, параллелельную AB . Поскольку касательная l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB ,
не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на
одной прямой.
Пусть 
BMN = α . Из теоремы синусов следует, что
= 
= 
.
Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB ,
то 
= . По теореме о касательной и секущей BK2 = BP· BN . Значит,
()2 = ()2=
=
=
= 
= 1-
= 1-.
Отсюда следует, что отношение не зависит от выбора точки K , а значит,
и r1не зависит от выбора точки K .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.