Олимпиадная задача по планиметрии: вписанный четырёхугольник и описанный BLCK
Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.
Разобрать решение
Будем считать, что точка K лежит внутри треугольника AOD (все остальные случаи разбираются аналогично). Пусть L' – точка, симметричная точке L относительно прямой BC (рис.1). Тогда
L'BO = OBC- L'BC = OBC - LBC,
но OBC = OAD , т.к. четырёхугольник ABCD вписанный,
следовательно,
L'BO = OAD- KAD = OAK = OBK,
т.к. четырёхугольник ABOK вписанный. Аналогично L'CO = OCK .
Поскольку четырёхугольники ABCD , ABOK и CDKO вписанные, то
BKO = BAO = CDO = CKO.
Рассмотрим четырёхугольник BL'CK (рис.2). Пусть N – точка пересечения CK и BL' , а M – точка пересечения BK и CL' . По ранее доказанному CO , BO и KO – биссектрисы углов NBK , MCK и MKN , поэтому точка O равноудалена от сторон четырёхугольника ML'NK , т.е. является центром вписанной в него окружности. Пусть P , Q , R , T – точки касания этой окружности со сторонами ML' , L'N , NK и KM соответственно. Тогда
CK+BL'=(CR+KR)+(BQ-L'Q)=CP+KT+BT-L'P =
=(KT+BT)+(CP-L'P)= KB+CL'.
Значит, CK+BL=KB+CL . Следовательно, и четырёхугольник BLCK является
описанным, что и требовалось доказать.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.