Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы, симметричные точки и описанная окружность в треугольнике ABC
Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC .
Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если
окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит
через вершину B , то 
ABC = 60o .
Разобрать решение
Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Обозначим
точки касания этой окружности со сторонами AB , BC и AC через A1, B1и C1соответственно. Тогда точки A1, B1и C1– середины отрезков соответственно AA' , BB' и CC' .
По теореме о средней линии треугольника A1B1 || A'B' , B1C1 || B'C' и A1C1 || A'C' . Значит,
углы треугольника A1B1C1соответственно равны углам треугольника A'B'C' .
Обозначим ABC = β .
Поскольку B1C1 
AI и B1A1 CI , а AI и CI –
биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC , то
A'B'C' = A1B1C1 = 180o- AIC =
180o - (90o+
) =
90o - ,
а т.к. A'B'C' и A'BC' – противоположные углы вписанного четырёхугольника A'B'C'B , то
A'BC' = 180o - A'B'C' =
180o-(90o - )=
90o + .
С другой стороны, поскольку точки A' и C' симметричны точке I относительно прямых соответственно BC и AB , то
A'BC' = C'BI+ A'BI = 2 ABI + 2 CBI=
2( ABI + CBI) = 2 ABC = 2β.
Из уравнения90o + = 2β находим, что β = 60o .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.