Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника DCM в трапеции с вписанной окружностью. Класс 8-9, Толпыго А. К.

  Пусть O – центр вписанной окружности, K, L – точки ее касания со сторонами AD и BC. Напомним, что  S_DCM = S_ABM  (см. зад. 156764).   Способ 1. Пусть AD = a,  BC = b  – основания, h – высота трапеции.             (это верно в любой трапеции).   CO и DO – биссектрисы углов C и D, поэтому  ∠KDO + ∠LCO = 90°.  Следовательно, прямоугольные треугольники KDO и LMO подобны, значит,  KD·LC = r².  Отсюда         Способ 2. В силу известного свойства описанного четырёхугольника (см. зад. 157022) отрезок KL (соединяющий противоположные точки касания) проходит через точку M. Точка O также лежит на этом отрезке. Поэтому  S_DCM = S_ABM = S_ABO = r².