Олимпиадная задача по планиметрии: нахождение угла BCD в равнобедренном треугольнике

Решение 1:Поочерёдно построим на сторонах AB и AC точки E, F и G так, что  BC = CE = EF = FG  (см. рис. слева). Получатся равнобедренные треугольники BCE (с углом 20° при вершине E), CEF (с углом 60° при основании CF), EFG (с углом 100° при вершине F) и FGA (с углами 20° при основании FA).

AG = AD,  поэтому точка G совпадает с точкой D. Так как треугольник CEF равносторонний, то треугольник CFG равнобедренный с углом 10° при основании, и  ∠BCD = ∠BCG = 80° – 10° = 70°.

Решение 2:

Автор: Шитпохин Н.На высоте AH данного треугольника отметим такую точку M, что треугольник BMC – равносторонний (рис. в центре). Треугольники ABM и CAD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому   ∠ACD = ∠BAM = 10°.  Следовательно,  ∠BCD = ∠BCA – ∠ACD = 80° – 10° = 70°.

Решение 3:Построим треугольник ACF, равный треугольнику BAC (рис. справа). Тогда треугольник ADF равносторонний, а CD – серединный перпендикуляр к отрезку AF, т.е. биссектриса угла ACF. Значит,  ∠ACD = 10°.  Далее как в решении 2.