Олимпиадная задача по математике: максимальное число фонарей на дороге (7-9 класс)

  Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенныеn-м и (n+ 2)-м фонарями, пересекаются (хотя бы по одной точке), то (n+ 1)-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Если бы фонарей было хотя бы 1999, то фонарей с нечетными номерами было бы не менее 1000. Значит, фонарей не больше 1998. Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен

${\frac{1}{2}}$ м, а 1998-й равен 999${\frac{1}{2}}$ м. (Разность этой прогрессии равна ${\frac{999}{1997}}$.) Расстояние между n-м и (n + 2)-м фонарем равно ${\frac{1998}{1997}}$. Значит, между отрезками, освещенными этими фонарями, имеется зазор в ${\frac{1}{1997}}$ м. Его освещает только (n + 1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.