Олимпиадная задача с героями: текстовая задача о поездах, лесу и окружности для 7-10 классов

  Для ясности будем считать поезда и станции точками.

  Понятно, что если n кратно 3, то Лёша и Ира всегда уезжают одновременно. Значит, в этом случае лес отсутствует.

  Пусть n не кратно 3. Тогда, когда бы они ни пришли на станцию, либо Ира уедет раньше Лёши, либо – Лёша раньше Иры.

  Обозначим расстояние между соседними поездами через l. Если в некоторой точке X лес, то в точке Y, находящейся от неё на расстоянии, кратном l, тоже лес. Действительно, если Ира входит на станцию, когда Рома находится в точке X, то она уедет первой. Но когда Рома находится в точке Y, расположение поездов такое же, как когда он находится в точке X, так что в этом случае Ира тоже уедет первой, поэтому в точке Y тоже лес.

  Итак, "структура" леса периодическая, поэтому достаточно определить расположение леса на интервале длины l.   Рассмотрим момент, когда некоторый поезд отходит от станции B (см. рис.).

  Пусть поезд, на который сядет Ира (то есть ближайший против направления движения к станцииAпоезд), в этот момент находится на расстоянииxотA. Тогда весь интервал между этим поездом и точкойAпокрыт лесом. Действительно, если машинист Рома находится на этом интервале, то он увезёт Иру, потому что Лёша "упустил" свой поезд (строго говоря, это следует из того, что  x < l).   Интервал длины  l – x,  следующий заAпо направлению движения, лесом не покрыт. Действительно, когда поезд придёт на станцию A, то ближайший кBпротив направления движения поезд будет на расстоянии  l – x. Так что если Рома находится на указанном интервале длины  l – x,  то Лёша сядет в поезд первым, так как Ира "упустила" поезд, который ведет Рома.   Итак, на участке длиныlлеса –x, а поля –  l – x.  Так как структура леса периодическая, то и на всей дороге количество леса относится к количеству поля какxк  l – x.   Осталось найтиx. Длина окружности равнаnl, значит, длина большей дугиBAравна  &frac23;nl. Ясно, что величинаxравна остатку от деления длины дугиBAнаl. Значит, если  n≡ 1 (mod 3),  то  x=^2l/₃,  то есть доля леса составляет &frac23;.   Аналогично если  n≡ 2 (mod 3),  то  x=^l/₃,  то есть доля леса составляет &frac13;.