Олимпиадная задача по многочленам и делимости для 9-11 классов от Сендерова В. А.
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа P(k), P(k + 1), ...,
P(k + 1996) будут составными, если
а) n = 1;
б) n – произвольное натуральное число.
Разобрать решение
Поскольку коэффициенты – натуральные числа) P(n) > P(m) при n > m > 0. Кроме того, P(n) > 1 при n > 0.
Положим a = P(1)P(2)...P(1996). По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 135562) P(a + k) – P(k) делится на a, а a – на P(k) при k = 1, ..., 1996. Значит, P(a + k) делится на P(k). Поскольку P(k) > 1 и P(a + k) > P(k), то P(a + k) – составное число.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.