Олимпиадная задача по математике: поиск семизначных чисел, случай с делимостью

  Пусть x и y – искомые числа. По условию   3xy = 10⁷x + y.   Первый способ.  3y = 10⁷ + ^y/_x.  Поскольку  0 < ^y/_x < 10, то 10⁷ < 3y < 10⁷ + 10. Следовательно,  3333333⅓ < y < 3333336⅔.  Значит,  ^y/_x < 4,  то есть

10⁷ + 1 ≤ 3y < 10⁷ + 4.  Лишь одно число в этом интервале делится на 3: это  10⁷ + 2.  Поэтому  y = 3333334,  x = 1666667.   Второй способ.  10⁷x = (3x – 1)y.  Поскольку x и  3x – 1  взаимно просты, то  3x – 1  – делитель 10⁷. Но  3x – 1 ≥ 3·10⁶ – 1,  поэтому  3x – 1 = 5·10⁶.  Отсюда

x = 1666667,  y = 3333334.