Задание олимпиады по планиметрии: Точки X и Y в треугольнике ABC (7–9 класс)

  Для внешних углов BXC и AYB треугольников ABX и CAY запишем равенства  ∠BXC = ∠ABX + ∠BAX,  ∠AYB = ∠CAY + ∠YCA  (см. рис.). Так как по условию  ∠BXC = ∠AYB,  ∠ABX = ∠CAY,  то  ∠BAX = ∠YCA,  то есть треугольник ABC является равнобедренным,  AB = BC. 

  У треугольниковXBCиYABравны две стороны и уголне между ними:  ∠BXC= ∠AYB, XC = YB, BC = AB.  Такие треугольники либо равны, либо ∠XBC+ ∠YAB= 180°  (мы докажем это ниже), но второй случай невозможен, поскольку  ∠XBC+ ∠YAB< ∠ABC+ ∠CAB= 180° – ∠ACB< 180°.  Значит, треугольникиXBCиYABравны, а следовательно,  ∠ABC= ∠BCA,  и треугольникABCравносторонний.   Теперь докажем сформулированный выше факт. Отметим на луче XB точку B' на расстоянии  XB' = YA.  Точка B' может оказаться как внутри, так и вне отрезка XB (см. рис.).

  ТреугольникиXB'CиYABравны по двум сторонам и углу между ними  (XC = YB,  XB' = YA,  ∠CXB'= ∠BYA).  Значит,  CB' = CB.  ЕслиBиB'совпадают, треугольникиXBCиYABравны. Если жеB'не совпадает сB, то в равнобедренном треугольникеB'CBуглыB'BCиBB'Cравны, а значит, ∠XBC+ ∠XB'C= 180°,  и  ∠XBC+ ∠YAB= 180°.