Олимпиадная задача: можно ли получить 105 кучек из трёх с разным числом камней?
Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
Показать ответ
Нельзя.
Разобрать решение
Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 и 5 камней (общий делитель 5), из 56 и 49 камней (общий делитель 7), из 51 и 54 камней (общий делитель 3). Поэтому не удастся получить ни одной кучки из одного камня.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.